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Quantification

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En linguistique, logique et mathématiques, etc., quantification est le type de construction linguistique qui spécifie la quantité d'individus dans le domaine du discours qui satisfont des conditions données. La quantification est utilisée à la fois dans les langues naturelles et les langues formelles, et les éléments linguistiques, formels ou informels, qui génèrent la quantification sont appelés quantificateurs. Voici des exemples de quantificateurs dans un langage naturel: chaque, certains, beaucoup, peu, plus, moitié et non, etc. Les quantificateurs permettent également des déclarations quantifiées telles que «Chaque nombre naturel a un successeur», «Certains nombres naturels sont pairs». Dans les langages formels, les quantificateurs sont des constructeurs de formules qui produisent de nouvelles formules à partir d'anciennes. Les deux types fondamentaux de quantification dans la logique des prédicats sont quantification universelle et quantification existentielle. Le symbole traditionnel pour le quantificateur universel "tous" est "∀", une lettre inversée "A" et pour le quantificateur existentiel "existe" est "∃", une lettre pivotée "E." Ces quantificateurs ont été officialisés et pris en compte dans divers domaines.

Quantification en langage naturel

La notion de quantification dans le contexte de la linguistique, la logique et les mathématiques désignent le type de construction linguistique qui spécifie la quantité d'individus dans le domaine du discours qui satisfont des conditions données. Les éléments linguistiques qui génèrent des énoncés quantifiés sont appelés quantificateurs. Des exemples de quantificateurs dans une langue naturelle, comme l'anglais, incluent: tous, certains, pour tous, la plupart, la moitié, deux, trois, non, etc. Ces expressions permettent des instructions telles que:

  • Chaque verre de ma commande récente a été ébréché.
  • Certaines personnes debout de l'autre côté de la rivière ont des brassards blancs.
  • La plupart des gens à qui j'ai parlé n'avaient aucune idée de qui étaient les candidats.
  • Tout le monde dans la salle d'attente avait au moins une plainte contre le Dr Ballyhoo.
  • Personne dans sa classe n'était en mesure de répondre correctement à toutes les questions que j'avais soumises.
  • Beaucoup de gens sont intelligents.

Importance des quantificateurs

En considérant l'énoncé quantifié suivant:

Tout le monde dans la pièce est grand.

on supposerait que s'il n'y a que trois personnes dans la pièce, disons John, Mary, Bob, l'énoncé quantifié peut être considéré comme équivalent à l'énoncé conjonctif suivant:

John est grand, Mary est grande et Bob est grand.

Cependant, cela ne signifie pas que nous pouvons toujours traduire des déclarations quantifiées données de manière équivalente en certaines déclarations sans quantification. Il se peut que nous n'ayons pas le nom de toutes les choses auxquelles nous faisons référence lorsque nous faisons des déclarations quantifiées. De plus, la déclaration ne peut pas être traduite directement même avec la connaissance des noms de tous les objets considérés. Considérez l'énoncé suivant:

Chaque nombre naturel est supérieur à -1.

Cette déclaration quantifiée peut être considérée comme traduisible en une déclaration équivalente sans quantification en énumérant toutes les instances de «n> -1» par rapport aux nombres naturels et forme une conjonction infinie de ces instances de la forme suivante:

0> -1 et 1> -1 et 2> -1,… et n> -1,…

Cependant, cette traduction peut être un problème du point de vue des langues naturelles, car nous nous attendons à ce que les règles syntaxiques des langues naturelles génèrent des expressions linguistiques finies. Le problème ne s'arrête pas là, même quand on accepte une telle conjonction infinie. Par exemple:

Chaque nombre irrationnel n'est pas 1.

Dans le cas du nombre naturel ci-dessus, nous pourrions énumérer toutes les instances de nombres naturels et ainsi penser à la possibilité de former la conjonction infinie, mais, dans notre exemple actuel, les nombres irrationnels ne peuvent pas être énumérés. Ainsi, nous n'aurions aucun moyen d'énumérer tous les conjoints à moins que nous acceptions que notre langage puisse contenir plus d'éléments que ce qui peut être énuméré.

Comme nous pouvons le voir dans ces exemples, la quantification nous permet d'exprimer une variété de concepts qui pourraient autrement être inexprimables.

Imbrication de quantificateurs

De nombreux énoncés quantifiés ont des structures imbriquées et l'ordre de quantification dans une structure donnée est souvent très important pour comprendre ce qui doit être transmis. Première:

Pour tout nombre naturel n, il existe un nombre naturel s tel que s = n × n.

C'est clairement vrai; il affirme simplement que chaque nombre a un carré. La signification de l'assertion dans laquelle les quantificateurs sont inversés est très différente:

Il y a un nombre naturel s de telle sorte que pour tout nombre naturel n, s = n × n.

C'est clairement faux; il affirme qu'il existe un seul nombre naturel s c'est à la fois le carré de chaque entier naturel. Cela illustre un point fondamentalement important lorsque les quantificateurs sont imbriqués: l'ordre d'alternance des quantificateurs est d'une importance absolue.

De plus, contrairement à ces exemples, dans certaines déclarations quantifiées, l'ordre de quantification imbriqué prévu est ambigu:

Tout le monde aime quelqu'un.

Cela peut signifier deux choses différentes. La première est que chaque personne aime une personne, et ceux qui sont aimés sont peut-être différents. L'autre est qu'une personne seule est appréciée de tous. Ce type d'ambiguïté abonde dans notre conversation avec tout le monde et ce que l'on entend par une déclaration quantifiée donnée doit souvent être échappé des informations contextuelles du discours.

Gamme de quantification

La quantification implique un domaine de discours ou une gamme de quantification de cette variable. Par exemple, dans l'exemple de tout le monde ci-dessus, le domaine du discours se compose de John, Mary et Bob, et dans l'exemple des nombres naturels, il se compose de tous les nombres naturels.

Le domaine du discours est souvent spécifié implicitement en termes d'informations contextuelles. Par exemple, dans de nombreux contextes, le domaine du discours peut ne pas avoir à être explicitement indiqué lorsqu'il peut être garanti que certaines hypothèses conversationnelles sont partagées (par exemple, Mary, John et Bob sont les personnes en question). Certains domaines des mathématiques supposent que les objets étudiés sont les mêmes que dans le cas de la théorie des ensembles, de la théorie des graphes, etc. De plus, certaines conventions peuvent être associées à certains contextes. En mathématiques, "n"est souvent réservé pour quantifier le domaine des nombres naturels alors que"X», Pour quantifier sur des nombres réels. Cependant, le domaine de la quantification doit souvent être explicitement spécifié. À cette fin, nous utilisons ce qu'on appelle «quantification gardée. Par exemple:

Pour un nombre pair n, n est premier.

Ici, le domaine visé est rendu explicite par l'expression «nombre pair» qui suit le quantificateur «certains». En ce sens, les expressions «quelqu'un» «personne», etc. sont également des exemples de quantification gardée.

Quantification en langage formel

Notation pour les quantificateurs

Dans le langage formel, le symbole traditionnel du quantificateur universel est «∀», une lettre inversée «A», qui signifie le mot «tous». Le symbole correspondant pour le quantificateur existentiel est «∃», une lettre pivotée «E», qui signifie le mot «existe». En conséquence, les expressions quantifiées sont construites comme suit,

où "P"désigne une formule. De nombreuses variantes de notation sont utilisées, telles que

Toutes ces variations s'appliquent également à la quantification universelle. D'autres variations pour le quantificateur universel sont

Les documents du début du XXe siècle n'utilisent pas le symbole ∀. La notation typique était (X)P exprimer "pour tous X, P, "et" (∃X)P"pour" il existe X tel que P"Le symbole ∃ a été inventé par Giuseppe Peano vers 1890. Plus tard, vers 1930, Gerhard Gentzen a introduit le symbole to pour représenter la quantification universelle. Frege's Begriffsschrift utilisé une notation entièrement différente, qui n'incluait pas du tout de quantificateur existentiel; ∃X P était toujours représenté à la place avec l'équivalent Begriffsschrift de ∀X P.

Sémantique formelle

Nous illustrons maintenant la façon dont les quantificateurs sont traités dans les langages formels en prenant l'exemple de la logique du premier ordre. Les lecteurs sont priés de se référer au calcul des prédicats pour plus de détails.

Une interprétation pour le calcul des prédicats du premier ordre suppose comme étant donné un domaine d'individus X. Une formule UNE dont les variables libres sont X1,… , Xn est interprété comme une fonction à valeur booléenne F(v1,… , vn) de n arguments, où chaque argument s'étend sur le domaine X. La valeur booléenne signifie que la fonction prend l'une des valeurs T (interprété comme vérité) ou F (interprété comme un mensonge). L'interprétation de la formule

est la fonction g de n-1 arguments tels que g(v1,… ,vn-1) = T si et seulement si F(v1,… , vn-1, w) = T pour chaque w dans X. Si F(v1,… , vn-1, w) = F pour au moins une valeur de w, puis g(v1,… ,vn-1) = F. De même, l'interprétation de la formule

est la fonction H de n-1 arguments tels que H(v1,… ,vn-1) = T si et seulement si F(v1,… ,vn-1, w) = T pour au moins un w et H(v1,… , vn-1) = F autrement.

La sémantique pour la quantification de l'unicité nécessite un calcul de prédicat de premier ordre avec égalité. Cela signifie qu'il y a un prédicat distingué à deux positions "="; la sémantique est également modifiée en conséquence afin que "=" soit toujours interprété comme la relation d'égalité à deux endroits sur X. L'interprétation de

est alors la fonction de n-1 arguments, qui est la logique et des interprétations de

Histoire de la formalisation

Logique des termes traite la quantification d'une manière plus proche du langage naturel et moins adaptée à l'analyse formelle. Logique aristotélicienne traité Tout', Certains et Non au premier siècle avant notre ère, dans un récit touchant également aux modalités aléthiques.

Le premier traitement de quantification basé sur des variables a été celui de Gottlob Frege en 1879 Begriffsschrift. Pour quantifier universellement une variable, Frege créerait une fossette dans une ligne par ailleurs droite apparaissant dans ses formules schématiques, puis écrirait la variable quantifiée sur la fossette. Frege n'avait pas de notation spécifique pour la quantification existentielle, utilisant plutôt l'équivalent de . Le traitement de la quantification par Frege est resté en grande partie inconnu jusqu'à 1903 de Bertrand Russell Principes de mathématiques.

Pendant ce temps, Charles Sanders Peirce et son élève O. H. Mitchell ont inventé de manière indépendante l'existentiel ainsi que le quantificateur universel, dans des travaux aboutissant à Peirce (1885). Peirce et Mitchell ont écrit ΠX et ΣX où nous écrivons maintenant ∀X et ∃X. Cette notation peut être trouvée dans les écrits d'Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem et des logiciens polonais dans les années 1950. C'est la notation de l'article historique de Kurt Goedel de 1930 sur l'exhaustivité de la logique du premier ordre, et de 1931 sur l'incomplétude de l'arithmétique de Peano. Les graphes existentiels ultérieurs de Peirce peuvent être vus comme présentant des variables tacites dont la quantification est déterminée par l'instance la moins profonde. L'approche de Peirce en matière de quantification a influencé Ernst Schroder, William E. Johnson et toute l'Europe via Giuseppe Peano. La logique de Pierce a attiré l'attention au cours des dernières décennies par ceux qui s'intéressent au raisonnement hétérogène et à l'inférence schématique.

Peano a noté le quantificateur universel comme (X). Par conséquent "(X)φ "indique que la formule φ est vraie pour toutes les valeurs de X. Il fut le premier à utiliser, en 1897, la notation (∃X) pour la quantification existentielle. le Principia Mathematica de Whitehead et Russell a utilisé la notation de Peano, tout comme Quine et Alonzo Church tout au long de leur carrière. Gentzen a introduit le symbole ∀ 1935 par analogie avec le symbole P de Peano. ∀ n'est devenu canonique que dans les années 1950.

Les références

  • Barwise, Jon et John Etchemendy. Langage, preuve et logique. Stanford, Californie: Publications CSLI, 2002. ISBN 1889119083
  • Frege, Gottlob. 1879. Begriffsschrift. Traduit par Jean van Heijenoort, 1967. De Frege à Godel: un livre source sur la logique mathématique, 1879-1931. Harvard Univ. Presse.
  • Hilbert, David et Wilhelm Ackermann. 1950 (1928). Principes de la logique théorique. Chelsea. Traduction de Grundzüge der theoretischen Logik. Springer-Verlag.
  • Peirce, Charles. 1885. «Sur l'algèbre de la logique: une contribution à la philosophie de la notation», American Journal of Mathematics 7: 180-202. Réimprimé par Kloesel, N. et al, (éd.), 1993. Écrits de C. S. Peirce, vol. 5. Indiana Univ. Presse.
  • Reichenbach, Hans. 1975 (1947). Éléments de logique symbolique. Dover Pubns, 1980. ISBN 0486240045
  • Westerstahl, Dag. "Quantifiers" dans Goble, Lou (éd.), Le guide Blackwell de la logique philosophique. Malden, Mass.: Blackwell Publishers, 2001. ISBN 0631206922

Liens externes

Tous les liens ont été récupérés le 17 juin 2019.

  • Quantificateurs généralisés Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Philosophie Générale Sources

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