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Logarithme

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Ces relations ont rendu ces opérations sur deux nombres beaucoup plus rapides et la bonne utilisation des logarithmes était une compétence essentielle avant de multiplier les calculatrices.

le l'équation est fondamentale (elle implique effectivement les trois autres relations dans un champ) car elle décrit un isomorphisme entre les groupe additif et le groupe multiplicatif du champ.

Pour multiplier deux nombres, l'un a trouvé les logarithmes des deux nombres sur une table de logarithmes communs, les a ajoutés, puis a recherché le résultat dans la table pour trouver le produit. C'est plus rapide que de les multiplier à la main, à condition que plus de deux décimales soient nécessaires dans le résultat. La table nécessaire pour obtenir une précision de sept décimales pouvait être insérée dans un grand livre, et la table pour neuf décimales occupait quelques étagères.

La découverte des logarithmes juste avant l'ère de Newton a eu un impact dans le monde scientifique qui peut être comparé à l'invention de l'ordinateur au XXe siècle, car de nombreux calculs trop laborieux sont devenus réalisables.

Lorsque le chronomètre a été inventé au XVIIIe siècle, les logarithmes ont permis de réduire tous les calculs nécessaires à la navigation astronomique à de simples ajouts, accélérant le processus d'un ou deux ordres de grandeur. Un tableau de logarithmes à cinq décimales, plus des logarithmes de fonctions trigonométriques, était suffisant pour la plupart des calculs de navigation astronomique, et ces tableaux tiennent dans un petit livre.

Pour calculer les puissances ou les racines d'un nombre, le logarithme commun de ce nombre a été recherché et multiplié ou divisé par la radix. L'interpolation pourrait être utilisée pour une précision encore plus élevée. Les règles de diapositive utilisaient des logarithmes pour effectuer les mêmes opérations plus rapidement, mais avec beaucoup moins de précision que l'utilisation de tables. D'autres outils pour effectuer des multiplications avant l'invention de la calculatrice incluent les os et les calculatrices mécaniques de Napier: voir l'historique du matériel informatique.

Calcul

La dérivée de la fonction de logarithme naturel est

(Une preuve est montrée ci-dessous.)

En appliquant la règle du changement de base, la dérivée des autres bases est

L'antidérivative du logarithme est

Voir également: tableau des limites des fonctions logarithmiques, liste des intégrales des fonctions logarithmiques.

Preuve du dérivé

La dérivée de la fonction de logarithme népérien est facilement trouvée via la règle de la fonction inverse. Puisque l'inverse de la fonction logarithme est la fonction exponentielle, nous avons . Puisque la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, le côté droit de l'équation se simplifie pour , l'exponentielle annulant le logarithme.

Des ordinateurs

Lorsque l'on considère les ordinateurs, le cas habituel est que l'argument et le résultat de la La fonction est une forme de type de données à virgule flottante. Notez que la plupart des langages informatiques utilisent pour cette fonction tandis que le est généralement noté log10 (x).

Comme l'argument est en virgule flottante, il peut être utile de considérer les éléments suivants:

Une valeur à virgule flottante x est représentée par une mantisse m et exposant n former

Par conséquent

Ainsi, au lieu de calculer nous calculons pour certains m tels que . Ayant dans cette plage signifie que la valeur est toujours dans la plage . Certaines machines utilisent la mantisse de la gamme et dans ce cas, la valeur de u sera dans la plage Dans les deux cas, la série est encore plus facile à calculer.

Généralisations

Le logarithme ordinaire des réels positifs se généralise en arguments négatifs et complexes, bien qu'il s'agisse d'une fonction à plusieurs valeurs qui nécessite une coupure de branche se terminant au point de branchement à 0 pour créer une fonction ordinaire ou une branche principale. Le logarithme (à la base e) d'un nombre complexe z est le nombre complexe ln (|z|) + je arg(z), où |z| est le module de z, arg(z) est l'argument, et je est l'unité imaginaire.

Le logarithme discret est une notion connexe dans la théorie des groupes finis. Cela implique de résoudre l'équation bn = X,b et X sont des éléments du groupe, et n est un entier spécifiant une puissance dans l'opération de groupe. Pour certains groupes finis, on pense que le logarithme discret est très difficile à calculer, tandis que les exponentielles discrètes sont assez faciles. Cette asymétrie a des applications dans la cryptographie à clé publique.

Le logarithme d'une matrice est l'inverse de l'exponentielle de la matrice.

UNE double logarithme, , est la fonction inverse de la fonction exponentielle double. UNE super-logarithme ou hyper-logarithme est la fonction inverse de la fonction super-exponentielle. Le super-logarithme de X croît encore plus lentement que le double logarithme pour les grands X.

Pour chaque positif b différent de 1, le journal des fonctionsb (X) est un isomorphisme du groupe de nombres réels positifs sous multiplication au groupe de (tous) nombres réels sous addition. Ce sont les seuls isomorphismes de ce type qui soient continus. La fonction logarithme peut être étendue à une mesure de Haar dans le groupe topologique de nombres réels positifs sous multiplication.

Remarques

  1. ↑ James Mills Peirce, Les éléments des logarithmes avec une explication des tables à trois et quatre places des fonctions logarithmiques et trigonométriques (1873).
  2. 2.0 2.1 Math Forum, Logarithms: History and Use Récupéré le 20 novembre 2018.
  3. ↑ Institut des actuaires de Grande-Bretagne, Journal de l'Institute of Actuaries and Assurance Magazine, 1873, vol. 17 (Livres oubliés, 2018, 978-0366971244).
  4. ↑ Charles Knight, Cyclopédie anglaise, Biographie, Vol. IV., Article "Prony".
  5. ↑ MathWorld, Logarithme commun. Récupéré le 20 novembre 2018.

Les références

  • Institut des Actuaires de Grande-Bretagne, Journal de l'Institute of Actuaries and Assurance Magazine, 1873, vol. 17. Livres oubliés, 2018. 978-0366971244
  • Knight, Charles. The English Cyclopaedia, Vol. 4. Livres oubliés, 2012.
  • Peirce, James Mills. Les éléments des logarithmes avec une explication des tables à trois et quatre places des fonctions logarithmiques et trigonométriques. Andesite Press, 2015. ISBN 978-1297495465
  • Przeworska-Rolewicz, D. Logarithmes et antilogarithmes: une approche d'analyse algébrique avec une annexe de Zbigniew Binderman (Mathématiques et ses applications). New York, NY: Springer, 1998. ISBN 0792349741.
  • REA. Math Made Nice & Easy # 2: pourcentages, exposants, radicaux, logarithmes et bases de l'algèbre (Math Made Nice & Easy). Piscataway, NJ: Research & Education Association, 1999. ISBN 0878912010.
  • Ryffel, Henry, Robert Green, Holbrook Horton et Edward Messal. Mathématiques au travail. New York, NY: Industrial Press, Inc., 1999. ISBN 0831130830.

Liens externes

Tous les liens ont été récupérés le 20 novembre 2018.

  • Expliquer les logarithmes mathématiques.
  • Logarithme sur MathWorld.
  • Jost Burgi, inventeur suisse des logarithmes.
  • Calculateurs de logarithme et problèmes de mots avec le travail montré, pour les élèves.
  • Logarithmes - du Petit manuel de la pratique statistique.
  • Fonctions logarithmiques

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