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John Wallis

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John Wallis (23 novembre 1616-28 octobre 1703) était un mathématicien anglais à qui on attribue un crédit partiel pour le développement du calcul moderne. Entre 1643 et 1689, il a été cryptographe en chef du Parlement et, plus tard, de la cour royale. Il est également crédité de l'introduction du symbole pour l'infini.

Mathématicien anglais de premier plan devant l'influent physicien Isaac Newton, Wallis est né à Ashford, dans le Kent, en Angleterre. Il a étudié à l'Université de Cambridge et a pris les commandes, mais en 1649, il est devenu professeur de géométrie à l'Université d'Oxford. Le sien Arithmetica Infinitorum (The Arithmetic of Infinitesimals 1655) a été un stimulant pour les travaux de Newton sur le calcul et le théorème binomial. Il a également écrit sur la proportion, la mécanique, la grammaire, la logique, le déchiffrement (il a déchiffré des messages cryptés interceptés par des partisans royalistes), la théologie et l'enseignement des sourds. Il était l'un des fondateurs de la Royal Society. L'astéroïde 31982 Johnwallis porte son nom.

La vie

John Wallis était le troisième des cinq enfants du révérend John Wallis et de Joanna Chapman. Il a d'abord fait ses études dans une école locale d'Ashford, mais a déménagé à l'école de James Movat à Tenterden en 1625 à la suite d'une épidémie de peste. Wallis a été exposé pour la première fois aux mathématiques en 1631, à l'école publique bien connue du révérend Martin Holbeach à Felsted; il aimait les mathématiques, mais son étude était erratique, car: "les mathématiques, à l'époque avec nous, étaient à peine considérées comme des études académiques, mais plutôt mécaniques"(Scriba 1970).

Comme il était prévu qu'il soit médecin, il fut envoyé en 1632 au Emmanuel College de Cambridge. Alors qu'il était là, a plaidé en faveur de la doctrine de la circulation du sang, qui aurait été la première fois en Europe sur laquelle cette théorie a été publiquement maintenue dans une controverse. Ses intérêts, cependant, étaient centrés sur les mathématiques. Il a obtenu son baccalauréat ès arts en 1637 et une maîtrise en 1640, après avoir accédé au sacerdoce. Wallis a été élu membre du Queens 'College de Cambridge en 1644, qu'il a cependant dû démissionner à la suite de son mariage le 14 mars 1645 avec Susanna Glyde.

Christopher Wren, le grand architecte anglais et collègue de Wallis dans le groupe de scientifiques qui devint plus tard la Royal Society

Pendant tout ce temps, Wallis avait été proche du parti puritain, à qui il avait apporté une grande aide pour déchiffrer les dépêches royalistes. La qualité de la cryptographie à cette époque était mitigée. Malgré les succès individuels de ceux comme le mathématicien français François Viète, les principes qui sous-tendent la conception et l'analyse du chiffrement étaient très mal compris. La plupart des chiffrements étaient des méthodes ad hoc reposant sur un algorithme secret, par opposition aux systèmes basés sur une clé variable. Wallis s'est rendu compte que ces derniers étaient beaucoup plus sûrs - même en les décrivant comme «incassables». Il était également préoccupé par l'utilisation de chiffres par des puissances étrangères, refusant, par exemple, la demande de 1697 de Gottfried Leibniz, le polymathe allemand et le génie universel de son époque, pour enseigner la cryptographie aux étudiants hanovriens.

De retour à Londres - il avait été nommé aumônier à St Gabriel, Fenchurch Street, en 1643 - Wallis rejoignit le groupe de scientifiques qui deviendra plus tard la Royal Society. Il a finalement pu se livrer à ses intérêts mathématiques, maîtrisant la Clavis Mathematicae par le mathématicien anglais William Oughtred en quelques semaines en 1647. Il commença bientôt à écrire ses propres traités, traitant d'un large éventail de sujets. Tout au long de sa vie, Wallis a apporté d'importantes contributions à la trigonométrie, au calcul, à la géométrie et à l'analyse de séries infinies.

Wallis a rejoint les Presbytériens modérés en signant la protestation contre l'exécution de Charles I, par laquelle il encourait l'hostilité durable des indépendants au pouvoir. Malgré leur opposition, il fut nommé en 1649 à la Chaire Savilienne de Géométrie à l'Université d'Oxford, où il vécut jusqu'à sa mort le 28 octobre 1703. Outre ses travaux mathématiques, il écrivit sur la théologie, la logique, la grammaire anglaise et la philosophie . Il a également été le premier à concevoir un système d'enseignement pour les sourds-muets.

Mathématiques

En 1655, Wallis publia un traité sur les sections coniques dans lequel elles étaient définies analytiquement. Ce fut le premier livre dans lequel ces courbes sont considérées et définies comme des courbes du deuxième degré. Il a aidé à éliminer une partie de la difficulté et de l'obscurité perçues du travail du philosophe et mathématicien français René Descartes sur la géométrie analytique.

Arithmetica Infinitorum, le plus important des travaux de Wallis, a été publié en 1656. Dans ce traité, les méthodes d'analyse de Descartes et du mathématicien italien Bonaventura Cavalieri ont été systématisées et étendues, mais certains idéaux étaient sujets à critique. Il commence, après un court passage sur les sections coniques, en développant la notation standard des puissances, en les étendant des entiers positifs aux nombres rationnels:

Laissant les nombreuses applications algébriques de cette découverte, il procède ensuite à la recherche, par intégration, de l'aire comprise entre la courbe y = Xm, l'axe de Xet toute ordonnée X = h, et il prouve que le rapport de cette surface à celle du parallélogramme sur la même base et de même hauteur est de 1 / (m + 1). Il a apparemment supposé que le même résultat serait également vrai pour la courbe y = hachem, où une est une constante, et m tout nombre positif ou négatif; mais il ne parle que du cas de la parabole dans laquelle m = 2, et celle de l'hyperbole dans laquelle m = -1. Dans ce dernier cas, son interprétation du résultat est incorrecte. Il montre ensuite que des résultats similaires peuvent être notés pour toute courbe de la forme

et donc que, si l'ordonnée y d'une courbe peut être étendue en puissances de X, son aire peut être déterminée: ainsi, il dit que si l'équation de la courbe est y = X0 + X1 + X2 +…, Sa superficie serait X + x2/2 + X3/ 3 +… Il applique ensuite ceci à la quadrature des courbes y = (XX2)0, y = (XX2)1, y = (XX2)2, etc., pris entre les limites X = 0 et X = 1. Il montre que les aires sont respectivement 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. Il considère ensuite les courbes de la forme y = X1 / m et établit le théorème que la zone délimitée par cette courbe et les lignes X = 0 et X = 1 est égal à l'aire du rectangle sur la même base et de la même altitude que m : m + 1. Cela équivaut à l'informatique

Il illustre cela par la parabole, auquel cas m = 2. Il énonce, mais ne prouve pas, le résultat correspondant pour une courbe de la forme y = Xp / q.

Wallis a montré une ingéniosité considérable pour réduire les équations des courbes aux formes données ci-dessus, mais, comme il ne connaissait pas le théorème binomial, il n'a pas pu effectuer la quadrature du cercle, dont l'équation est , car il n'a pas été en mesure X. Il pose cependant le principe de l'interpolation. Ainsi, comme l'ordonnée du cercle est la moyenne géométrique entre les ordonnées des courbes et , on pourrait supposer que, comme approximation, l'aire du demi-cercle lequel est pourrait être considérée comme la moyenne géométrique entre les valeurs de

c'est-à-dire, 1 et ; cela équivaut à prendre ou 3,26… comme valeur de π. Mais, a fait valoir Wallis, nous avons en fait une série … Et donc le terme interpolé entre 1 et doit être choisi de manière à obéir à la loi de cette série. Ceci, par une méthode élaborée, conduit à une valeur pour le terme interpolé qui équivaut à prendre

(qui est maintenant connu sous le nom de produit Wallis.)

Dans ce travail, la formation et les propriétés des fractions continues sont également discutées, le sujet ayant été mis en évidence par l'utilisation de ces fractions par le mathématicien irlandais William Brouncker.

Quelques années plus tard, en 1659, Wallis publie un tract contenant la solution des problèmes sur la cycloïde qui avait été proposée par le mathématicien français Blaise Pascal. Cette explication est, assez étrangement compte tenu de son deuxième prénom et s'appelle le Explication de Detsub. En cela, il a d'ailleurs expliqué comment les principes énoncés dans son Arithmetica Infinitorum pourrait être utilisé pour la rectification des courbes algébriques; et a donné une solution au problème pour rectifier (c'est-à-dire trouver la longueur de) la parabole semi-cubique X3 = oui2, découvert en 1657 par son élève, le mathématicien anglais William Neil. Étant donné que toutes les tentatives de rectification de l'ellipse et de l'hyperbole avaient été (nécessairement) inefficaces, il avait été supposé qu'aucune courbe ne pouvait être rectifiée, comme en effet Descartes avait définitivement affirmé que c'était le cas. La spirale logarithmique avait été rectifiée par le physicien et mathématicien italien Evangelista Torricelli, et était la première ligne courbe (autre que le cercle) dont la longueur était déterminée, mais l'extension par Neil et Wallis à une courbe algébrique était nouvelle. La cycloïde a été rectifiée la courbe suivante; cela a été fait en 1658 par l'architecte anglais Christopher Wren.

Au début de 1658, une découverte similaire, indépendante de celle de Neil, a été faite par le mathématicien néerlandais Hendrik van Heuraët, et celle-ci a été publiée par le mathématicien néerlandais Frans van Schooten dans son édition de Geometria de Descartes en 1659. La méthode de Van Heuraët est la suivante . Il suppose que la courbe se réfère à des axes rectangulaires; si tel est le cas, et si (X, y) être les coordonnées d'un point quelconque sur celui-ci, et n être la longueur de la normale, et si un autre point dont les coordonnées sont (x, η) être pris de telle sorte que η: h = n: y, où h est une constante; puis si ds être l'élément de la longueur de la courbe requise, nous avons par des triangles similaires ds: dx = n: y. Par conséquent, h ds = η dx. Par conséquent, si l'aire du lieu du point (x, η) peut être trouvée, la première courbe peut être rectifiée. Van Heuraët a ainsi effectué la rectification de la courbe y3 = hache2 mais a ajouté que la rectification de la parabole y2 = hache est impossible car elle nécessite la quadrature de l'hyperbole. Les solutions données par Neil et Wallis sont quelque peu similaires à celles données par van Heuraët, bien qu'aucune règle générale ne soit énoncée et que l'analyse soit maladroite. Une troisième méthode a été suggérée par le mathématicien français Pierre de Fermat en 1660, mais elle est inélégante et laborieuse.

Le mathématicien néerlandais Christiaan Huygens était le collègue de Wallis à la Royal Society.

La théorie de la collision des corps a été proposée par la Royal Society en 1668 à l'attention des mathématiciens. Wallis, Wren et le mathématicien hollandais Christiaan ont envoyé des solutions correctes et similaires, toutes dépendant de ce qu'on appelle maintenant la conservation de l'élan; mais, tandis que Wren et Huygens limitaient leur théorie aux corps parfaitement élastiques, Wallis considérait également les corps imparfaitement élastiques. Il a été suivi en 1669 par un travail sur la statique (centres de gravité), et en 1670 par un sur la dynamique: ils fournissent un synopsis pratique de ce qui était alors connu sur le sujet.

En 1685, Wallis publie Algèbre, précédé d'un compte rendu historique de l'évolution du sujet, qui contient de nombreuses informations précieuses. La deuxième édition, publiée en 1693 et ​​formant le deuxième volume de son Opéra, a été considérablement agrandi. Cette algèbre est remarquable car elle contient la première utilisation systématique de formules. Une grandeur donnée est ici représentée par le rapport numérique qu'elle porte à l'unité de même grandeur: ainsi, lorsque Wallis veut comparer deux longueurs, il considère que chacune contient autant d'unités de longueur. Cela sera peut-être rendu plus clair en notant que la relation entre l'espace décrit à tout moment par une particule se déplaçant avec une vitesse uniforme est désignée par Wallis par la formule s = Vermont, où s est le nombre représentant le rapport de l'espace décrit à l'unité de longueur; alors que les auteurs précédents auraient dénoté la même relation en énonçant ce qui est équivalent à la proposition s1 : s2 = v1t1 : v2t2. Il est curieux de noter que Wallis a rejeté comme absurde l'idée désormais habituelle d'un nombre négatif comme étant inférieur à rien, mais a accepté l'idée qu'il s'agit de quelque chose de plus grand que l'infini.

Malgré cela, il est généralement crédité comme l'initiateur de l'idée de la ligne numérique, où les nombres sont représentés géométriquement sur une ligne avec les nombres positifs augmentant à droite et les nombres négatifs à gauche.

Dans son Opera Mathematica I (1695) Wallis a introduit le terme "fraction continue".

Héritage

Isaac Newton en 1689Le symbole de l'infini dans huit faces de type

John Wallis a grandement contribué à bon nombre des concepts sous-jacents qui constitueraient le calcul et est sans aucun doute l'un des hommes auxquels Newton faisait référence lorsqu'il a déclaré qu'il était simplement «debout sur les épaules de géants».

Au cours des années 1650, Wallis fait partie d'un groupe intéressé par les sciences naturelles et expérimentales qui commence à se rencontrer régulièrement à Londres. Ce groupe devait devenir la Royal Society, donc Wallis est un membre fondateur de la Royal Society et l'un de ses premiers membres.

Son impact le plus profond, cependant, a été dans son travail mathématique. Il a écrit de nombreux articles, dont un grand nombre ont contribué à former les idées sous-jacentes au développement du calcul, qui était à nos portes. Ses œuvres les plus célèbres incluent l'introduction de l'utilisation de séries infinies comme partie ordinaire de l'analyse mathématique. Ses articles étaient également réputés pour avoir révélé et expliqué dans un langage très clair les principes des nouvelles méthodes d'analyse introduites non seulement par lui, mais par ses contemporains et ses prédécesseurs immédiats. En fait, c'est ce style d'écriture qui a beaucoup aidé Newton dans son développement du calcul.

L'œuvre la plus influente de Wallis est Arithmetica infinitorum (1656), dans lequel il a évalué l'intégrale de (1 - x2) n de 0 à 1 pour les valeurs intégrales de n. Sa procédure a véritablement jeté les bases de techniques plus générales d'évaluation des intégrales, empruntées au mathématicien allemand Johannes Kepler. Il a également introduit le symbole de l'infini, , qui est encore utilisé aujourd'hui, ainsi que le développement d'une formule de produit infinie pour pi.

Wallis a laissé un héritage de l'étude de l'infini, des sections coniques et bien plus encore, qui ensemble ont aidé à définir les règles sous-jacentes du calcul. Ses divers écrits donnent un aperçu solide d'un esprit original au travail qui a suivi de nombreuses avenues au cours de la découverte mathématique.

Les références

  • Beeley, Philip et Christoph Scriba. Correspondance de John Wallis (1616-1703): Volume I (1641-1659). Oxford University Press, 2003. ISBN 9780198510666
  • Scott, J.F. Travail mathématique de John Wallis. Chelsea Publishing Company, 1981. ISBN 9780828403146
  • Wallis, John et J.A. Stedall. L'arithmétique des infinitésimaux: John Wallis 1656. Springer, 2004. ISBN 9780387207094
  • Wallis, John et Uwe Mayer. La correspondance de John Wallis: Volume II (1660-septembre 1668). Oxford University Press, 2005. ISBN 9780198566014

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